服从卡方分布（Chi-squared distribution）的随机变量通常出现在以下几种情况下：
1. 样本方差：在正态分布的总体中，样本方差的平方根服从自由度为n-1的卡方分布，其中n是样本大小。
2. 独立标准正态分布随机变量的平方和：如果有k个独立的标准正态分布随机变量(X_1, X_2, ..., X_k)，那么它们的平方和(X_12 + X_22 + ... + X_k2)服从自由度为k的卡方分布。
3. 两个独立卡方分布随机变量的和：如果两个独立的卡方分布随机变量分别有自由度(k_1)和(k_2)，那么它们的和也服从卡方分布，其自由度为(k_1 + k_2)。
4. F分布的分母：在F分布中，F分布的分子和分母都是卡方分布，且分子和分母的自由度分别对应F分布的自由度。
5. χ2检验：在统计学中，卡方分布常用于χ2检验，例如，检验两个分类变量是否独立时，会使用卡方分布来计算统计量。
6. 拟合优度检验：例如，在拟合模型时，可以使用卡方分布来检验模型对数据的拟合程度。
7. 方差分析（ANOVA）：在ANOVA中，卡方分布用于检验组间差异是否显著。
卡方分布具有如下特点：
它是右偏的，这意味着它的尾部在右侧较长。
它的形状随着自由度的增加而变得更加对称。
它的期望值和方差都与自由度有关，具体来说，期望值等于自由度，方差是自由度的两倍。
卡方分布的这些性质使其在统计学中非常有用，尤其是在假设检验和模型拟合评估中。
