凸函数是数学中一种特殊的函数，其图形在坐标系中呈现出凸起的特点。具体来说，一个函数 ( f(x) ) 在其定义域内是凸的，如果对于任意的 ( x_1, x_2 ) 在定义域内，以及任意的 ( lambda ) 在区间 [0, 1] 内，都有以下不等式成立：
[ f(lambda x_1 + (1-lambda) x_2) leq lambda f(x_1) + (1-lambda) f(x_2) ]
这个不等式称为凸函数的定义。简单来说，凸函数的图形上任意两点连线的线段不会低于函数图形本身。
凸函数具有以下性质：
1. 下凸性：凸函数的图形在任意两点之间都是向下凸的，即连接任意两点的直线或曲线都在函数图形的上方或与函数图形相切。
2. 局部极值：凸函数在其定义域内的局部极值（极大值或极小值）一定是全局极值。这意味着凸函数要么在整个定义域内单调递增，要么在整个定义域内单调递减。
3. 线性规划：凸函数在优化问题中特别有用，因为它们保证了线性规划问题的解是全局最优解。
4. 期望值：在概率论中，凸函数可以用来描述随机变量的期望值，因为期望值是凸函数。
凸函数在经济学、工程学、物理学等多个领域都有广泛的应用。
